어떤 함수가 더 빠르게 증가합니까, 지수 또는 계승입니까?

어떤 함수가 더 빠르게 증가합니까, 지수 또는 계승입니까?

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어느 함수가 더 빨리, 지수 (2 ^ n, n ^ n, e ^ n 등) 또는 계승 (n!)으로 증가합니까? 추신 : 어딘가에 읽었습니다, n! 2 ^ n보다 빠르게 자랍니다.

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엔! 결국 상수 밑 (2 ^ n 및 e ^ n)을 갖는 지수보다 빠르게 성장하지만 n ^ n은 n보다 빠르게 증가합니다! n이 증가함에 따라 염기가 증가하기 때문입니다.

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n! = n * (n-1) * (n-2) * ...

n^n = n * n * n * ...

첫 번째 항 이후의 모든 항이 n^n더 크므로 n ^ n이 더 빨리 증가합니다.

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n^n보다 커집니다 n!-훌륭한 설명은 @AlexQueue의 답변을 참조하십시오.

다른 경우에 대해서는 다음을 읽으십시오.

팩토리얼 함수는 지수 함수보다 점근 적으로 커지지 만 차이가 시작될 때 즉시 명확하지 않습니다. 예를 들어 n=5및 k=10의 경우 계승 5!=120은 여전히보다 작습니다 10^5=10000. 요인 함수가 더 커지기 시작하는시기를 찾으려면 몇 가지 빠른 수학적 분석을 수행해야합니다.

우리는 Stirling의 공식과 기본 로그 조작을 사용합니다.

log_k(n!) ~ n*log_k(n) - n*log_k(e)

k^n = n!
log_k(k^n) = log_k(n!)
n*log_k(k) = log_k(n!)
n = log_k(n!)

n ~ n*log_k(n) - n*log_k(e)
1 ~ log_k(n) - log_k(e)
log_k(n) - log_k(e) - 1 ~ 0
log_k(n) - log_k(e) - log_k(k) ~ 0
log_k(n/(e*k)) ~ 0

n/(e*k) ~ 1
n ~ e*k

따라서 n크기의 거의 3 배에 도달하면 k팩토리얼 함수가 지수 함수보다 커지기 시작합니다. 대부분의 실제 시나리오에서는의 큰 값 n과 작은 값을 사용 k하므로 실제로 팩토리얼 함수가 지수 함수보다 엄격하다고 가정 할 수 있습니다.

참조 URL : https://stackoverflow.com/questions/11607376/which-function-grows-faster-exponential-or-factorial